神秘数字与植物

　　
　　神秘数字
　　
　　你有留意过吗？扑克牌上的“梅花”只有三枚花瓣，事实上它不是梅花，而是三叶草。在西方，三叶草是一种很有象征意义的蔷薇科的其他物种，像桃、李、梨、杏、苹果、樱花等等就都开五瓣花。
　　如果你有足够的兴趣，你就会发现，在植物世界里，和花瓣相关的数字总是这么几个：3枚花瓣的鸢尾花、百合花(看上去有6枚，实际上是两套3枚)；8枚花瓣的飞燕草；13枚花瓣的瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花朵则很少见。为什么花瓣数目不是随机分布的？3，5，8，13，21，34，55，89……这些数字有什么特殊的吗？
　　
　　斐波纳契数
　　
　　是的，这些数字构成了斐波纳契数列。斐波纳契(1170-1240)是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目，而是在解一道关于兔子繁殖问题的时候，得出了这个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大时开始交配，在第二个月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖后每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？
　　在1月底，最初的一对兔子交配，但是还只有一对兔子；在2月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在3月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在4月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……看出规律了吗？从第3个数字开始，每个数字都是前面两个数字之和。
　　
　　植物世界似乎对斐波纳契数着了迷。不仅在花瓣数目上，在叶子、枝条、果实、种子等形态特征上，都可发现斐波纳契数。
　　叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。任意取一片叶子作为起点，向上用线连接各片叶子的着生点，可以发现这是一条盘旋而上的螺旋线，直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，作为终点。从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。例如榆，叶序周为1(即绕茎1周)，有2叶；桑，叶序周为1，有3叶；桃，叶序周为2，有5叶；梨，叶序周为3，有8叶；杏，叶序周为5，有13叶；松，叶序周为8，有21叶……用公式表示(绕茎的周数为分子，叶数为分母)，分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……这些是最常见的叶序公式，据估计大约有90%植物属于这类叶序，而它们的分子和分母全都是由斐波纳契数组成的。
　　你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89或89和144，其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，但也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才能注意到，例如花菜。如果你拿一棵花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线，再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，例如顺时针5条，逆时针8条？掰下一朵小花仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。
　　
　　黄金数与和谐美
　　
　　为什么植物如此偏爱斐波纳契数？这和另一个更古老的、早在古希腊时期就被人们注意到甚至崇拜的另外一个“神秘”数字有关。这个数就是著名的黄金数1.6180339887……，通常用Φ表示。
　　黄金数有一些奇妙的数学性质。它的倒数恰好等于它的小数部分，也即１／Φ＝Φ－１，有时这个倒数也被称为黄金数。如果把一条直线ＡＢ用Ｃ点分割，让ＡＢ／ＡＣ＝ ＡＣ／ＣＢ，那么这个比等于黄金数，Ｃ点被称为黄金分割点。如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。这样的矩形称为黄金矩形，它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形。常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，人们在设计建筑、艺术品、日常用品时都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。
　　那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？
　　我们把斐波纳契数列中相邻的两个数相除，得到的结果都近似等于Φ，斐波纳契数越大，则它们的比值越接近Φ，当无穷大时，其比就等于Φ。斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。这又是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满美与和谐？
　　
　　自然的选择
　　
　　植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。那么这个最佳角度是多少呢？我们可以把这个角度写成３６０°×ｎ，其中０＜ｎ ＜１，由于左右各有一个角度是一样的?穴只是旋转的方向不同?雪，例如ｎ＝０．４和ｎ＝０．６实际上结果相同，因此我们只需考虑０．５≤ｎ＜１的情况。如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即ｎ＝０．５＝１/２，但是这样的话第２个新芽与旧芽同方向，第３个新芽与第１个新芽同方向……也就是说，仅绕１周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。如果０．６ ＝３/５呢？绕３周就出现重叠，而且总共也只有５个方向。事实上，如果ｎ是个真分数ｐ/ｑ，则意味着绕ｐ周就出现重叠，共有ｑ个生长方向。
　　
　　显然，如果ｎ是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。选什么样的无理数呢？圆周率π、自然常数ｅ和根２都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与１/７，５/７和２/５非常接近，也就是分别绕１、５和２周就出现重叠，分别总共只有７、７和５个方向。所以结论是，越是无理的无理数反而越“有理”。那么，最无理的无理数，就是黄金数Φ≈１．６１８。也就是说，ｎ的最佳值约等于０．６１８，即新芽的最佳旋转角度大约是３６０°×０．６１８≈ ２２２．５°或１３７．５°。
　　在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部；对花来说，意味着尽可能多地展示自己吸引昆虫来传粉；而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。这一切，对植物的生长、繁殖都是大有益处的。可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。